À quoi sert l’excentricité ?

Les excentricités ont pour but de faire en sorte que le comportement d’un modèle de calcul (= modèle Diamonds) corresponde le plus fidèlement possible au comportement réel de la structure. Le but des excentricités n’est PAS de donner au modèle de calcul la même apparence que le modèle architectural.

Les excentricités ont une incidence sur la manière dont la rigidité des éléments (plaque et poutre) est calculée :

• Lorsque la poutre ne présente aucune excentricité (voir le modèle 1 ci-dessous) : la rigidité de la plaque sera localement augmentée de la rigidité de la poutre (= la somme des deux rigidités).
• Lorsque la poutre présente une excentricité (voir le modèle 2 ci-dessous) : la poutre et la plaque fonctionneront conjointement comme un profilé en T. La rigidité de cet ensemble sera supérieure à la somme des deux rigidités.

Afin d’illustrer ce point, nous comparons la répartition des charges vers les lignes d’appui aux extrémités et vers l’axe central dans quatre modèles de poutre-dalle (9 x 5,5 m, dalle unidirectionnelle d’une épaisseur de 0,2 m, en appui simple sur deux côtés opposés, 10 kN/m²).

• Modèle 1 : une poutre au centre, non excentrée
• Modèle 2 : même poutre au centre, excentrée
• Modèle 3 : absence de poutre au centre (ou présence d’une poutre dont la rigidité est très faible par rapport à celle de la plaque)
• Modèle 4 : une ligne d’appui au milieu. Les plaques se comporteront comme si elles étaient parfaitement continues.

Résultat:

Modèle 1 45 % par rapport aux lignes d’appui à gauche et à droite 55 % des personnes interrogées sont d’accord avec ce point	Modèle 2 40 % par rapport aux lignes d’appui à gauche et à droite 60 % des soutiens à cette proposition
Modèle 3 87 % par rapport aux lignes d’appui à gauche et à droite 13 % des points d’appui	Modèle 4 40 % par rapport aux lignes d’appui à gauche et à droite 60 % des soutiens à cette proposition

Conclusion :

• Comme prévu, la poutre du modèle 2 se comporte de manière plus rigide que celle du modèle 1. La poutre du modèle 2 exerce une force plus importante sur elle-même que celle du modèle 1.
• À mesure que la rigidité de la poutre augmente, les modèles 1 et 2 se comporteront comme le modèle 4.

À mesure que la rigidité de la poutre diminue, les modèles 1 et 2 se comporteront comme le modèle 3.

• Ces pourcentages peuvent varier en fonction du rapport longueur/largeur des dalles et du type de dalle (dalle unidirectionnelle, dalle bidirectionnelle, dalles préfabriquées, etc.).

Dans quels cas les excentricités entraînent-elles une force normale ?

Afin de déterminer dans quelles conditions les excentricités génèrent des forces normales, nous créons un modèle de poutre présentant les caractéristiques suivantes : 200 × 500 mm, portée de 5 m, poids propre + charge permanente de 15 kN/m, excentrique de sorte que l’axe de la poutre coïncide avec sa face inférieure. Nous considérons un appui isostatique et hyperstatique.

Représentation en ossature Une représentation solide

Résultats concernant les efforts internes :

Moment de flexion
Force de cisaillement
Force axiale

Conclusion :

• Les forces normales n’apparaissent que lorsque l’élément de poutre est hyperstatique. Il n’y a pas de forces normales lorsque la poutre est isostatique.
  Malheureusement, la plupart des structures sont hyperstatiques, et des forces normales apparaissent souvent en raison d’excentricités.
• Si l’on effectue le même exercice pour une poutre suspendue (dont l’axe coïncide avec le bord supérieur de la poutre), on parvient à la même conclusion.

Quelle est l’intensité de la force normale dans une poutre excentrée ?

Vous trouverez un exemple concret dans les exemples de validation.

---

En quoi la force agissant sur une poutre excentrée diffère-t-elle de celle agissant sur une poutre non excentrée ?

Lorsque l’on place une poutre de manière excentrée par rapport à une plaque, l’axe de la poutre se déplace par rapport au plan axial de la plaque. Cela entraîne une répartition des forces totalement différente :

• Lorsque la poutre n’est pas excentrée par rapport à la plaque, les deux éléments subissent une flexion. Il n’y a pas de force axiale dans le système.
• Lorsque la poutre est excentrée par rapport à la plaque, des efforts de flexion et des efforts axiaux apparaissent. Si la poutre se trouve sous la plaque, il y aura (généralement) une compression dans la plaque et une traction dans la poutre. Si la poutre se trouve au-dessus de la dalle, celle-ci subira (généralement) une traction, tandis que la poutre subira une compression.

Bien que la répartition des forces soit différente dans les deux systèmes (avec ou sans excentricité), la valeur totale du moment de flexion reste la même. Pour illustrer cela, nous modélisons une section en T de trois manières différentes : la rubrique «Géométrie + Charges » décrit la géométrie et les charges des différents modèles, tandis que la rubrique «Comparaison des efforts internes » compare les efforts internes. Dans ce paragraphe, nous revenons sur ces modèles concernant l’armature et la déformation due à la fissuration.

Géométrie + charges

	Méthode 1	Méthode 2	Méthode 3
Poutre en coupe transversale	Section en T dont les dimensions sont les suivantes : B = 200 mm H = 700 mm bf = 1 000 mm hf = 200 mm	Section transversale R dont les dimensions sont les suivantes : B = 200 mm H = 500 mm	Section transversale R dont les dimensions sont les suivantes : B = 200 mm H = 700 mm
Plaque de section transversale	none	B = 1 000 mm	H = 200 mm
Excentricité	none	Poutre latérale supérieure = tôle latérale inférieure e = 0,35 m	Poutre latérale supérieure = tôle latérale supérieure e = 0,25 m
Charge permanente	25 kN/m², ce qui correspond à une charge linéaire de 25 kN/m pour la voie 1 (la poutre en T mesure 1 m de large).

Comparaison des forces internes

Nous examinons les efforts internes du load group « charges permanentes » (et non les efforts internes en charge maximale admissible) car la variante 3 comporte un peu plus de poids propre que les deux autres.

	Méthode 1	Méthode 2	Méthode 3
Moment de flexion dans la poutre
Moment de flexion moyen au milieu de la plaque
Force axiale dans la poutre
Force axiale moyenne au centre de la plaque
Moment de flexion total	200 kNm	38,7 kNm + 12,2 kNm + 426,8 kN × 0,35 m = 199,9 kNm	99,9 kNm + 11,5 kN + 345,4 kN × 0,35 m = 199,9 kNm

Conclusion : la valeur totale du moment de flexion dans le système est la même. C’est simplement que sa diffusion se fait d’une autre manière.

---

Assemblage poutre en béton – dalle en béton

Objectif

Considérez le modèle de plaque en 2D ci-dessous (dalles de base 200/50, poutres R150/350, 15 kN/m²). Les assemblages poutre-plaque peuvent être réalisés de différentes manières sur chantier :

• une plaque d’un seul tenant, simplement posée sur la poutre
• une plaque discontinue, simplement posée sur la poutre
• La poutre et la dalle sont coulées d’un seul tenant. La poutre et la plaque fonctionneront ensemble, comme un tout.

Cette mise en œuvre détermine la modélisation dans Diamonds, car celle-ci doit décrire au mieux le comportement réel de la structure.

Dans Diamonds

Cette section examine comment les différents modes d’exécution sont modélisés dans Diamonds : avec et sans excentricités. Travailler avec ou sans excentricités présente des avantages et des inconvénients. Vous remarquerez qu’une situation se prête mieux à l’utilisation des excentricités qu’une autre.

Continu ou discontinu

Avant d’aborder les différents cas, nous aimerions vous expliquer la différence entre une plaque « continue » et une plaque « discontinue ».

• Dans une plaque « continue », les armatures s’étendent sur différentes surfaces de la plaque.
  En d’autres termes, toutes les forces internes peuvent être transférées entre les différentes surfaces des plaques.
• Dans une plaque « discontinue », les armatures ne s’étendent pas sur différentes surfaces de la plaque.
  En d’autres termes, aucune force interne ne peut être transmise entre les différentes surfaces des plaques.

Ce comportement continu ou discontinu ne peut être dissocié de la géométrie et des charges exercées sur la plaque. Diamonds calcule l’armature en fonction des efforts internes de l’élément. Et les efforts internes découlent de la géométrie (les conditions aux limites !) et des charges.

Sur une dalle discontinue, des lignes d’articulation sont présentes sur les bords de la dalle. Ces lignes d’articulation empêchent le transfert de moment entre les différentes surfaces des plaques. Ces lignes d’articulation s’appliquent donc aussi bien à l’armature supérieure qu’à l’armature inférieure.

Sur une dalle continue, il n’y a pas de lignes d’articulation sur les bords de la dalle. Toute action de force peut être transférée.

Dans Diamonds, la condition préalable « armature supérieure continue et armature inférieure discontinue » (ou inversement) n’existe pas. Il n’existe que deux cas : « armature supérieure et inférieure continue » ou « armature supérieure et inférieure discontinue ».

Si le calcul d’armature montre qu’au niveau d’un bord de dalle : l’armature supérieure est continue, tandis que l’armature inférieure est discontinue, cela résulte des charges exercées sur la dalle. Cela ne résulte pas d’une condition aux limites qui aurait été appliquée, car il n’existe aucune condition aux limites particulière susceptible d’imposer ce comportement.

Cas n° 1 : plaque continue, simplement appuyée sur une poutre

Dans le modèle de plaque en 2D, les plaques sont considérées comme discontinues et simplement appuyées par les poutres centrales. Pour l’appui des plaques sur les poutres de bord, voir le cas n° 2.

Le tableau ci-dessous présente les hypothèses retenues pour chaque modèle.

Résultat:

• Le moment de flexion sur le terrain est en effet comparable.
• Contre toute attente, un moment de retenue apparaît dans le modèle en l’absence d’excentricités.
  Ce phénomène se produit d’une part parce que les plaques peuvent encore transmettre des forces à la poutre, et d’autre part en raison de la compatibilité des déformations.

Par « compatibilité des déformations », on entend ce qui suit : la plaque est soumise à des efforts dans deux directions, elle se déforme donc également dans ces deux directions. La déformation subie par la plaque le long des quatre lignes de coupe orange doit rester compatible. Et cela n’est pas toujours si simple, ce qui entraîne des « anomalies » au niveau des forces internes.

Le terme « anomalies » est entre guillemets, car ces effets de bord sont inattendus, mais ils sont normaux dans ce type de modélisation. La seule méthode permettant de les éliminer est la modélisation unidimensionnelle et la méthode de descente de charge simple, comme dans les calculs manuels. Mais les calculs manuels comportent de nombreuses simplifications, à tel point qu’ils ne sont parfois pas comparables à la réalité.

Cas n° 2 : plaque discontinue, simplement appuyée sur une poutre

Dans le modèle de plaque en 2D, les plaques sont considérées comme discontinues et simplement appuyées par les poutres centrales. Dans le modèle de plaque en 2D, les plaques sont considérées comme simplement appuyées sur les poutres centrales et sur les poutres de bord.

Le tableau ci-dessous présente les hypothèses retenues pour chaque modèle.

Résultat:

• Le moment de flexion sur le terrain est en effet comparable.
• Ces deux modèles comportent désormais des moments de retenue. Bien que les charnières empêchent la transmission des efforts internes entre les plaques et la poutre, la plaque elle-même reste en appui dans deux directions. C’est donc ici la compatibilité des déformations qui est à l’origine des moments de retenue.

Remarque : pour les poutres situées le long des bords d’une plaque, peu importe que vous placiez les articulations sur le bord de la plaque ou sur les liaisons rigides. Les deux donnent des résultats similaires.

Cas n° 3 : poutre et dalle coulées ensemble

Dans le modèle de dalle en 2D, les dalles sont coulées en même temps que les poutres centrales et les poutres de bord. La poutre et la plaque fonctionneront ensemble, comme un tout.

Le tableau ci-dessous présente les hypothèses retenues pour chaque modèle.

Dans cette modélisation, il est difficile de comparer les forces internes. Ces deux modèles ne présentent pas le même poids propre et des forces axiales apparaîtront dans le modèle à excentricité. Ainsi, la déformation avec fissuration (en tenant compte du fluage et en étendant la théorie aux forces axiales) est utilisée pour comparer la rigidité des deux modèles.

Sur l’image ci-dessus, on constate que les deux approches de modélisation (avec ou sans excentricités) donnent des résultats similaires, mais pas tout à fait identiques. En effet, il est difficile d’estimer ou de calculer les largeurs effectives des profilés en T et en L.

Par simple curiosité, ajoutons un modèle dans lequel on utilise des sections R non excentriques. Alors que nous avions observé une déformation maximale avec fissuration après fluage de 18,7 mm (voir l’image précédente), nous constatons désormais une valeur maximale de 31,2 mm. Cela confirme l’affirmation selon laquelle l’utilisation d’une section R non excentrique pour simuler une poutre et une dalle coulées d’un seul tenant conduira à une sous-estimation de la rigidité des poutres.

Pourquoi « poutre latérale supérieure » = « tôle latérale supérieure » dans le cas n° 3?

Dans le cas n° 3, on a opté pour une poutre latérale supérieure = tôle latérale supérieure. Par conséquent, l’épaisseur de la plaque doit être ajoutée à la hauteur de la poutre, ce qui entraîne un surcroît de poids propre. Une situation que nous percevons (à juste titre) comme contradictoire. Mais cette hauteur supplémentaire de la poutre est nécessaire pour obtenir une rigidité suffisante. Nous reprenons ici les modèles de faisceaux présentés dans ce paragraphe :

• La méthode 1 de la section «Géométrie + charges » correspond au cas 3 modélisé sans excentricités.
• La méthode n° 3 de la section «Géométrie + charges » correspond au cas n° 3 modélisé avec des excentricités
  ( = épaisseur de la plaque ajoutée à la hauteur de la poutre = une modélisation qui semble quelque peu contradictoire)
• La méthode 2 de la section «Géométrie + charges » correspond au cas 3 avec des excentricités
  ( = l’épaisseur de la plaque n’est PAS prise en compte dans la hauteur de la poutre = la modélisation à laquelle on s’attendrait à première vue)

L’objectif de Diamonds est la conception ; c’est pourquoi nous nous concentrons sur l’armature et la déformation en cas de fissuration. Nous allons recalculer le modèle à plusieurs reprises et observer l’évolution des quantités d’armature et de la déformation due à la fissuration dans les trois modèles différents :

	Méthode 1	Méthode 2	Méthode 3
Déformation élastique
: armature :1re itération
s de déformation sous fissuration (avec fluage et forces axiales) :1re itération
Analyse élastique (tenant compte des fissures et des forces axiales), suivie immédiatement d’un calcul d’armature :2e itération
s de déformation avec fissures (avec fluage et forces axiales) :2e itération
Analyse élastique (tenant compte des fissures et des forces axiales), suivie immédiatement d’un calcul d’armature :3e itération

Conclusion : les méthodes n° 1 et n° 3 sont celles qui offrent les meilleurs résultats en termes de déformation due à la fissuration et de quantité d’armature. La méthode n° 2 s’en rapproche, mais elle est légèrement moins rigide, ce qui entraîne des déformations plus importantes et nécessite davantage d’armatures.

---

Poutre mixte en acier – dalle en béton

À l’instar du béton, nous examinons dans cette section deux cas dans lesquels une poutre en acier est coulée dans une dalle en béton.

Réalité	Diamonds
Cas n° 4 : dalles préfabriquées simplement appuyées sur une poutre en acier	Voir le cas n° 1
Cas n° 5 : poutre en acier assemblée à une dalle en béton à l’aide de goujons	Voir le cas n° 3 Ensemble plaque de fond = poutre de dessus.

Remarque : Diamonds ne prend pas en charge le calcul conformément à la norme EN 1994 (Calcul des structures en acier et béton) ! Avec Diamonds, vous pouvez déterminer les efforts internes dans la dalle en béton ou la poutre en acier, mais lors de la vérification, le logiciel appliquera la norme EN 1992 au béton et la norme EN 1993 à l’acier.

---

Excentricités non standard

Diamonds crée des pièces originales en utilisant des maillons rigides. Les liaisons rigides sont des éléments d’une rigidité infinie, dépourvus de section transversale et de matière. Leur fonction est de transmettre des forces entre les éléments.

Si vous définissez une poutre excentrée à l’aide du bouton « », Diamonds générera automatiquement les liaisons rigides. L’alignement (poutre de la surface supérieure = plaque de la surface supérieure, …) détermine la longueur de la liaison rigide.

Les images ci-dessous illustrent des cas types. Sur les images, la liaison rigide est représentée par une barre rose. Dans Diamonds, une liaison rigide créée à l’aide du bouton « » est représentée par une ligne pointillée de la même couleur que la poutre.

Pour les excentricités non standard, comme dans les exemples ci-dessous, vous devez ajouter manuellement la liaison rigide. Voici comment procéder :

• Dessinez les éléments (plaque(s) et poutre) au niveau approprié (coordonnée Y). Utilisez l’axe de la plaque et de la poutre pour déterminer ces niveaux. La différence de niveau détermine la longueur des liaisons rigides.
• Aux emplacements des liaisons rigides : tracez une ligne, sélectionnez-la, puis cliquez sur « ». La ligne continue noire que vous avez sélectionnée va désormais apparaître sous la forme d’une ligne pointillée rose.
• L’effet de torsion se produit au niveau des liaisons rigides et sera perdu.
• Ce type de modélisation n’est recommandé que pour les petits modèles, et non pour les grands projets 3D.

Remarque : si les plaques se trouvent à des niveaux différents, vous aurez besoin d’une licence « Plaques 2D + Plaques 3D » !